Oktaven
Und bevor Möglichkeit Form annimmt, braucht sie einen Raum, in dem Unterschiede entstehen können.
Am Anfang ist kein Klang.
Nicht weil nichts vorhanden wäre – sondern weil noch nichts unterschieden ist.
Die Spektrale Pyramide beginnt nicht mit einem fertigen Raum, nicht mit Materie und nicht mit einem beobachtbaren Objekt. Ihr Ausgangspunkt ist die Möglichkeit selbst.
In diesem Möglichkeitsraum erscheint die Oktave als eine mathematisch besonders bemerkenswerte Struktur: achtdimensionale Algebra, deren imaginärer Anteil sieben Dimensionen besitzt.
Vielleicht ist Mathematik hier nicht zuerst Beschreibung, sondern der Versuch, die Struktur des Möglichen hörbar zu machen.
Eine Algebra mit sieben imaginären Richtungen.
Die reellen Oktaven bilden eine achtdimensionale nichtassoziative Divisionsalgebra:
Daraus folgt unmittelbar:
Genau diese sieben imaginären Richtungen sind für unsere Untersuchung von besonderem Interesse. Sie geben uns einen mathematisch natürlichen sieben- dimensionalen Raum – ohne dass dafür zunächst eine physikalische Interpretation benötigt wird.
Wenn die Oktaven sich selbst bewahren.
Die Automorphismen der Oktaven bilden die außergewöhnliche Lie-Gruppe \(G_2\):
\(G_2\) ist damit keine beliebige hinzugefügte Symmetrie. Sie beschreibt die Transformationen, welche die Multiplikationsstruktur der Oktaven erhalten.
8 Dimensionen
Die vollständige reelle Oktavenalgebra \(\mathbb O\).
7 Dimensionen
Der imaginäre Anteil \(\operatorname{Im}(\mathbb O)\).
G₂
Die Automorphismengruppe, die die Oktavenstruktur bewahrt.
Und dann erscheint die Acht erneut.
Die Zahl acht führt uns zu einer weiteren außergewöhnlichen Struktur: der Gruppe \(\operatorname{Spin}(8)\).
Ihr besonderes Merkmal ist die Trialität. Drei achtdimensionale Darstellungen stehen in einer außergewöhnlichen Symmetriebeziehung:
Vektor-, Spinor- und konjugierte Spinordarstellung können durch die äußere Symmetrie des Dynkin-Diagramms \(D_4\) miteinander vertauscht werden.
Hier begegnen wir einer Struktur, in der drei scheinbar verschiedene Perspektiven auf denselben mathematischen Raum miteinander verbunden werden.
Eine auffällige Folge.
Wir haben bisher keine physikalische Theorie konstruiert. Aber wir haben eine bemerkenswerte mathematische Spur:
Acht → Sieben → Drei → ?
Hier beginnt unsere eigentliche Forschungsfrage.
Aus der Oktavenstruktur erhalten wir auf natürliche Weise einen sieben-dimensionalen Raum. Unsere Spektrale Pyramide untersucht nun die Frage, ob dieser sieben-dimensionale Möglichkeitsraum mit einer Signaturstruktur verbunden werden kann, die schließlich zur sechsdimensionalen Urmatrix führt.
Diese quadratische Form besitzt die Signatur \((5,2)\). Sie beschreibt einen Nullkegel in einem sieben-dimensionalen Vektorraum.
Mit der affinen Bedingung \(X_7=R\) entsteht:
Die Grenze zwischen Mathematik und Deutung.
Die Oktaven sind eine achtdimensionale reelle nichtassoziative Divisionsalgebra. Ihr imaginärer Anteil ist sieben-dimensional. \(G_2\) ist ihre Automorphismengruppe. Trialität ist eine fundamentale Symmetrie der Spin(8)-Struktur. Die angegebene quadratische Form besitzt Signatur \((5,2)\), und die Bedingung \(X_7=R\) erzeugt die entsprechende \((4,2)\)-Quadrik.
Ob und wie die Oktavenstruktur die konkrete \((5,2)\)-Signatur erzeugt, ist damit nicht bewiesen. Ebenso ist die Interpretation dieser Struktur als Möglichkeitsraum, Urlicht, Urmatrix oder Projektionsraum eine Hypothese der Spektralen Pyramide.
Genau hier darf die Theorie nicht vorschnell schließen. Eine gemeinsame Zahl ist noch keine gemeinsame Struktur. Der Zusammenhang muss konstruiert oder widerlegt werden.
Das ist vielleicht die wichtigste Stelle des gesamten Forschungswegs. Denn hier endet das bereits Bekannte – und die eigentliche Entdeckung könnte beginnen.
Die Oktave öffnet die Tür.
Noch ist nicht klar, wohin sie führt.
Aber die Spur ist stark genug, um ihr zu folgen: von den Oktaven zur Trialität, von der Trialität zum sieben-dimensionalen Raum und von dort zur offenen Frage nach der Signatur der Spektralen Pyramide.